题目内容
如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．（1）求证：△BEF∽△CEG．
（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
（3）设BE=x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y=16？
考点：四边形综合题
专题：综合题
分析：（1）利用平行四边形的性质和相似三角形的判定即可解决问题．
（2）设BE=x，易证△BEF∽△BAM，根据相似三角形的性质可得BF=
x，EF=
x．易证△CEG∽△BAM，根据相似三角形的性质可得CG=6-
x，EG=8-
x，从而可得C△BEF+C△CEG=24．
（3）由（2）得：EF=
x，DG=11-
x，就可求出y和x之间的函数关系式，然后把y=16代入该解析式，就可求出x的值．
（2）设BE=x，易证△BEF∽△BAM，根据相似三角形的性质可得BF=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
（3）由（2）得：EF=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，即BF∥CG，
∴△BEF∽△CEG．
（2）△BEF和△CEG的周长之和等于24．
理由：解：设BE=x，
∵AM⊥BC，AB=5，AM=4，
∴BM=
=3．
∵AM⊥BC，EF⊥AB，
∴∠AMB=∠EFB=90°．
∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BAM，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
∴BF=
x，EF=
x．
∵△BEF∽△CEG，△BEF∽△BAM，
∴△CEG∽△BAM，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
∴CG=6-
x，EG=8-
x，
∴C△BEF+C△CEG=
x+
x+x+6-
x+8-
x+10-x=24．
（3）解：由（2）得：EF=
x，DG=DC+CG=5+6-
x=11-
x，
∴y=
EF•DG=
×
x•（11-
x）=-
x2+
x．
若y=16，则有-
x2+
x=16，
整理得：3x2-55x+200=0，
即（3x-40）（x-5）=0，
解得：x1=
，x2=5．
∵E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合），
∴x＜10，
∴x=5．
∴当x=5时，y=16．
∴AB∥DC，即BF∥CG，
∴△BEF∽△CEG．
（2）△BEF和△CEG的周长之和等于24．
理由：解：设BE=x，
∵AM⊥BC，AB=5，AM=4，
∴BM=
| AB2-AM2 |
∵AM⊥BC，EF⊥AB，
∴∠AMB=∠EFB=90°．
∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BAM，
∴
| BF |
| BM |
| EF |
| AM |
| BE |
| BA |
∴
| BF |
| 3 |
| EF |
| 4 |
| x |
| 5 |
∴BF=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∵△BEF∽△CEG，△BEF∽△BAM，
∴△CEG∽△BAM，
∴
| CE |
| BA |
| CG |
| BM |
| EG |
| AM |
∴
| 10-x |
| 5 |
| CG |
| 3 |
| EG |
| 4 |
∴CG=6-
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴C△BEF+C△CEG=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
（3）解：由（2）得：EF=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 6 |
| 25 |
| 22 |
| 5 |
若y=16，则有-
| 6 |
| 25 |
| 22 |
| 5 |
整理得：3x2-55x+200=0，
即（3x-40）（x-5）=0，
解得：x1=
| 40 |
| 3 |
∵E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合），
∴x＜10，
∴x=5．
∴当x=5时，y=16．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，运用相似三角形的性质是解决第（2）小题的关键．
练习册系列答案
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| C、20米 | D、15米 |