Question

20．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）求证：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS可证明△ADC≌△CEB（AAS），依据全等三角形的性质可得到AD=CE，CD=BE，然后由ED=DC+CE可得到问题的答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，最后由CE=CD+DE可得到问题的答案．

解答 证明：（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中$\left\{\begin{array}{l}{∠CDA=∠BEC}\\{∠DAC=∠ECB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．
（2）DE=AD-BE，
理由：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}\\{∠ADC=∠BEC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键．