Question

证明：中点四边形的面积为原四边形面积的一半（不用相似三角形）．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：如图，根据三角形中位线定理证得EH=

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BD，利用三角形的面积公式求得△AEH的面积=

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△ABD的面积．同理求得其他三个小三角形的面积，由四边形ABCD的面积-四个小三角形的面积进行证明．

解答：证明：如图，E、H是边AB、AD的中点，过点A作AN⊥BD于点N，交EH于点P，
∴EH∥BD，且EH=

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BD，AP=

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AO，
∴S_△AEH=

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EH•AP=

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4

S_△ABD．
同理可证：S_△CFG=

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S_△CBD
∴S_△AEH+S_△CFG=

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（S_△ABD+S_△CBD）=

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S_{四边形ABCD}，S_△BEF+S_△DHG=

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（S_△ABC+S_△CDA）=

1

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S_{四边形ABCD}，
故S_?EFGH=

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S_{四边形ABCD}．
即中点四边形的面积为原四边形面积的一半．

点评：本题考查了中点四边形．注意题目要求是：不用相似三角形．