Question

在平面直角坐标系中，已知点P（3，4），Q（4，3）分别在x轴、y轴上，求点M、N，使P、Q、M、N为顶点的四边形的周长最小．
（1）求M、N的坐标；
（2）求四边形的周长和面积．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）作点Q关于x轴的对称点Q′，作点P关于y轴的对称点P′，连接Q′P′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．根据轴对称的性质求得P′、Q′的坐标，即可求得直线P′Q′的解析式，进而即可求得M、N的坐标；
（2）设直线PP′和直线QQ′的交点为B，求出线段P′Q′的长度，即可求得四边形MNPQ的周长的最小值；根据S=S △P′Q′B-S △PP′Q-S △QQ′M-S_△PBQ即可求得四边形的面积．

解答：解：（1）作点Q关于x轴的对称点Q′，作点P关于y轴的对称点P′，
连接Q′P′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．
∵P（3，4），Q（4，3），
∴Q′（4，-3），P′（-3，4），
设直线P′Q′的解析式为y=kx+b，
∴

4k+b=-3 -3k+b=4

，
解得

k=-1 b=1

，
∴直线P′Q′的解析式为y=-x+1，
∴M（1，0），N（0，1）；

（2）NP=NP′，MQ=MQ′．
设直线PP′和直线QQ′的交点为B，
∴BP′=7，BQ′=7．
∴PN+NM+MQ=P′N+NM+MQ′=P′Q′=

72+72

=7

2

．
又∵PQ=

(4-3)2+(3-4)2

=

2

，
∴FN+MN+ME+EF=7

2

+

2

=8

2

，
此时四边形MNFE的周长最小值是8

2

．
∵PB=1，BQ=1，
∴S=S △P′Q′B-S △PP′Q-S △QQ′M-S_△PBQ=

1

2

×7×7-

1

2

×6×3-

1

2

×6×3-

1

2

×1×1=6；

点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，求线段的和最小的问题基本的解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题．