Question

13．如图，已知△ABC和△DEF是两个边长都为1cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD、CF．
（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；
（2）若BD=0.4cm，△ABC沿着BE的方向以每秒2cm的速度运动，设△ABC运动时间为t秒，
①当t为何值时，?ADFC是菱形？请说明理由；
②?ADFC有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件可知AC∥DF，即可得出四边形ADFC是平行四边形，
（2）根据菱形的性质得出△ABC移动BD个单位，即可得出结论；
（3）根据平行四边形ADFC是矩形，得出∠CDF=90°，E与B重合，得出t=0.7秒，可求出此时矩形的面积

解答 （1）证明：∵△ABC和△DEF是两个边长都为lcm的等边三角形，
∴AC=DF=1cm，∠ACB=∠FDE=60°，
∴AC∥DF，
∴四边形ADFC是平行四边形；

（2）①当t=0.4秒时，平行四边形ADFC是菱形，理由如下：如图1，
∵平行四边形ADFC是菱形，
∴AD=AE=DF=EF，
∵△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，
∴移动距离为BD=0.4cm，
∴t=BD÷2=0.4÷2=0.2秒，

②∵平行四边形ADFC是矩形，
∴∠CFD=90°，
∴∠DCF=90°-60°=30°=∠EFC，
∴EF=EC=1，
∴DC=DE+BC=2，
∴移动距离为BD+DE=1+0.4=1.4，
∴t=1.4÷2=0.7秒，
此时，如图2，在Rt△CDF中，
∠CDF=90°，AC=1cm，CD=2cm，
∴CF=$\sqrt{C{D}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$cm，
∴矩形ADFC的面积=AC×CF=$\sqrt{3}$cm²．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，平移的性质，菱形的性质，矩形的性质，解（1）的关键是判断出AC∥DF，解（2）的关键是确定出平移的距离．