Question

已知：如图，Rt△AOB中，∠O=90°，以OA为半径作⊙O，BC切⊙O于点C，连接AC交OB于点P．
（1）求证：BP=BC；
（2）若sin∠PAO=

1

3

，且PC=7，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,锐角三角函数的定义

专题：压轴题

分析：（1）连接OC，由切线的性质，可得∠OCB=90°，由OA=OC，得∠OCA=∠OAC，再由∠O=90°，根据等角的余角相等即可得出所要求证的结论；
（2）延长AO交⊙O于点E，连接CE，在Rt△AOP和Rt△ACE中，根据三角形函数和勾股定理，列方程解答．

解答：（1）证明：连接OC，
∵BC是⊙O切线，
∴∠OCB=90°，
∴∠OCA+∠BCA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∠BOA=90°，
∴∠OAC+APO=90°，
∵∠APO=∠BPC，
∴∠OAC+∠BPC=90°，
∴∠BPC=∠BCA，
∴BC=BP．
（2）解：延长AO交⊙O于点E，连接CE，
在Rt△AOP中，∵sin∠PAO=

1

3

，
设OP=x，AP=3x，则AO=2

2

x，
∵AO=OE，
∴OE=2

2

x，
∴AE=4

2

x，
∵sin∠PAO=

1

3

，
∴

CE

AE

=

1

3

，
∴

AC

AE

=

2 2

3

，
∴

3x+7

4 2 x

=

2 2

3

，
解得：x=3，
∴AO=6

2

．

点评：本题考查了切线的性质、三角函数、勾股定理等知识，解决问题的关键是根据三角函数的定义结合勾股定理列出方程．