Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足

BC

=

FC

，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若tan∠CBA=

3

，AE=3，求AF的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：几何综合题

分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，

BC

=

FC

，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；
（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=

1

2

AB，在△ACB中，利用已知条件求得答案．

解答：（1）证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵

BC

=

FC

，
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴△ABC是直角三角形，
∵tan∠CBA=

3

，
∴∠CBA=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，
∵△AEC为直角三角形，AE=3，
∴AC=2

3

，
连接OF，
∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF=OA=

1

2

AB，
在Rt△ACB中，AC=2

3

，tan∠CBA=

3

，
∴BC=2，
∴AB=4，
∴AF=2．

点评：此题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．