Question

如图，在⊙O中，

ADB

=90°，弦AB=a，以B为圆心，以BA为半径画圆弧交⊙O于另一点C，则由两条圆弧所围成的月亮形（阴影部分）的面积S=

 

．

Answer 1

分析：连OA，OB，AC，BC，由ADB弧的度数为90°，得到∠AOB=90°，则∠BAC=45°，再由BA=BC，得∠ABC=90°，所以有AC为⊙O的直径，且有AC=

2

a，OA=BO=

2

2

a，而S=S_半圆AC-S₁=S_半圆AC-（S_扇形BAC-S_△ABC），然后根据扇形好、三角形和圆的面积公式进行计算即可．

解答：解：连OA，OB，AC，BC，如图，
∵ADB弧的度数为90°，
∴∠AOB=90°，
∴∠BAC=45°，
又∵以B为圆心，以BA为半径画圆弧交⊙O于另一点C，即BA=BC，
∴∠ACB=∠BAC=45°，
∴∠ABC=90°，
所以AC为⊙O的直径．
而AB=a，
∴AC=

2

a，OA=BO=

2

2

a，
∴S=S_半圆AC-S₁=S_半圆AC-（S_扇形BAC-S_△ABC）=

1

2

π（

2

2

a）²-

90π×a2

360

+

1

2

×a×a=

1

2

a²．
故答案为

1

2

a²．

点评：本题考查了扇形的面积公式：S=

nπR2

360

，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S=

1

2

lR，l为扇形的弧长，R为半径．也考查了圆心角的度数等于它所对的弧的度数和等腰直角三角形三边的关系．