Question

13．如图，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（0，4），点P从原点O出发，以每秒3的单位长度的速度沿x轴向右运动，点Q从点B出发，以每秒1的单位长度的速度沿线段BC向左运动，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当t=$\frac{3}{2}$s时，四边形OPQC为矩形；
（2）当t=$\frac{1}{2}$s时，线段PQ平分四边形OABC的面积；
（3）在整个运动过程中，当以ACPQ为顶点的四边形为平行四边形时，求该平行四边形的面积．

Answer 1

分析 （1）当CQ=OP时，四边形OPQC为矩形，由题意可知：CQ=6-t，OP=3t，列式计算；
（2）因为BC∥OA，则由线段PQ分四边形OABC所成的梯形的高相等，所以当OP+CQ=BQ+AP时，线段PQ平分四边形OABC的面积；代入计算求t的值；
（3）当CQ=AP时，四边形CPAQ为平行四边形，根据图3和图4列式计算求出t的值，并求平行四边形CPAQ的面积．

解答 解：（1）如图1，由题意得：OP=3t，BQ=t，CQ=6-t，
∵B（6，4），C（0，4），
∴BC∥x轴，即BC∥OP，
∵∠COP=90°，
∴当CQ=OP时，四边形OPQC为矩形，
则6-t=3t，
t=$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$s；
（2）如图2，∵BC∥OA，且AB与OC不平行，
∴四边形OABC为梯形，
若线段PQ平分四边形OABC的面积，
则有：OP+CQ=BQ+AP，
3t+6-t=t+8-3t，
t=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$s．
（3）①如图3，∵CQ∥AP，
∴当CQ=AP时，四边形CPAQ为平行四边形，
即：6-t=8-3t，
t=1，
∴S_?CPAQ=AP•OC=（8-3t）×4=（8-3）×4=20；
②如图4，当CQ=AP时，四边形CPAQ为平行四边形，
6-t=3t-8，
t=$\frac{7}{2}$，
∴S_?CAPQ=AP•OC=（3t-8）×4=（3×$\frac{7}{2}$-8）×4=10；
综上所述：①当t=1s时，S_?CPAQ=20；
②当t=$\frac{7}{2}$s时，S_?CAPQ=10．

点评 本题是四边形的综合题，以两个动点P、Q为背景，考查了平行四边形、矩形、梯形的性质及面积；此类题的解题思路为：首先根据运动路径、时间和速度确定其运动的路程，即能用时间t表示各条线段的长，再利用已知条件找等量关系列方程．