Question

15．如图，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，DH⊥AB于H，现将△AHD沿AD翻折得到△AED，AE交⊙O于点C，连接OC交AD于点G．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB=10，∠DAB=30°，连接BD，请写出求BD长的解题思路．

Answer 1

分析 （1）连接半径，由同圆的半径相等得：OA=OD，利用等边对等角可知：∠OAD=∠ODA，利用翻折的性质可知：：∠OAD=∠EAD，∠E=∠AHD=90°，证OD∥AE，得∠ODE=90°，所以DE与⊙O相切；
（2）先证明△OAC是等边三角形，再证明OG∥BD，根据中位线定理可知：BD=2OG=5．

解答 证明：（1）连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
由翻折得：∠OAD=∠EAD，∠E=∠AHD=90°，
∴∠ODA=∠EAD，
∴OD∥AE，
∴∠E+∠ODE=180°，
∴∠ODE=90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）①∠OAD=∠EAD=30°⇒∠OAC=60°⇒△OAC是等边三角形⇒∠AOG=60°，
②∠AOC=60°，∠OAD=30°⇒∠AGO=90°⇒OG=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{5}{2}$，
③AB是直径⇒∠ADB=90°⇒OG∥BD⇒BD=2OG=5．

点评 本题考查了切线的判定、平行线的性质和判定、翻折的性质、等边三角形的性质和判定，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，并熟练掌握等边三角形的性质和判定，明确翻折前后的两条边和角相等．