题目内容
20．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，连接CD．（1）如图1，BD与BC的数量关系是BD=BC ；
（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想BD、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出BD、BF、BP三者之间的数量关系．
分析 （1）根据直角三角形30°所对边是斜边的一半结合点D为AB的中点即可得出结论；
（2）根据已知证明△DCP≌△DBF，得出BF=CP，结合（1）中结论，运用等量代换即可证明结论；
（3）根据题中要求做出图形，根据已知证明△DCP≌△DBF，得出BF=CP，结合（1）中结论，运用等量代换即可证明结论；
解答 解：（1）BD=BC．
理由如下：
在直角三角形ABC中，∠A=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵D是AB的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴BD=BC．
（2）BF+BP=DB．理由如下：
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
而∠CDB=60°，
∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=∠BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$
∴△DCP≌△DBF（SAS），
∴CP=BF，
而CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC，
∵DB=BC，
∴BF+BP=BD；
（3）如图3
BF=BP+BD．
理由如下：
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
而∠CDB=60°，
∴∠CDB+∠PDB=∠PDF+∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=∠BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$
∴△DCP≌△DBF（SAS），
∴CP=BF，
而CP=BC+BP，
∴BF=BP+BC，
∵DB=BC，
∴BF=BP+BD．
点评 此题主要考察直角三角形的相关性质和运用旋转变换组织条件证明全等三角形解决问题，认真观察图形，会结合题意分析全等三角形是解题的关键．
阅读快车系列答案| A． | 18 | B． | 16 | C． | 12 | D． | 0 |
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