Question

12．如图①，一次函数y=$\frac{3}{4}$x+b的图象与x轴交与点A，且经过B（3，3）．

（1）求b的值以及点A的坐标；
（2）如图②过B作直线l交x轴与点C，当△ABC是直角三角形时，求△ABC的面积；
（3）如图③过B作直线BM∥x轴，点P是直线BM上的点，是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得b点坐标，再根据自变量与函数值的对应关系，可得A点坐标；
（2）分类讨论：当BC⊥x轴时，根据三角形的面积公式，可得答案；当BC⊥AC时，根据勾股定理C点坐标，根据三角形面积公式，可得答案；
（3）根据分类讨论：根据等腰三角形的定义，①当AB=BP=5时，②当AP=BP时，③当AP=AB=5时，再根据勾股定理，可得答案．

解答 解：（1）由一次函数y=$\frac{3}{4}$x+b的图象经过B（3，3），得
$\frac{3}{4}$×3+b=3，
解得b=$\frac{3}{4}$，
一次函数y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$，当y=0时，解得x=-1，
即A（-1，0）；
（2）当BC⊥x轴时，BC=3，AC=3-（-1）=4，S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC•AC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
当BC⊥AC时，设C（a，0），由勾股定理，得
（3+1）²+3²+（a-3）²+3²=（a+1）²，
解得a=$\frac{21}{4}$，
AB=$\sqrt{（3+1）^{2}+{3}^{2}}$=5，BC=$\sqrt{（\frac{21}{4}-3）^{2}+{3}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC•AB=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{15}{4}$=$\frac{75}{8}$；
（3）设P（a，3），①当AB=BP=5时，a-3=5，解得a=8，即P₁（8，3），
3-a=5，解得a=-2，即P₂（-2，3）；
②当AP=BP时，平方，得AP²=BP²，即（a+1）²+3²=（a-3）²，解得a=-$\frac{1}{8}$，即P₃（-$\frac{1}{8}$，3）；
③当AP=AB=5时，AP²=5²，即（a+1）²+3²=5²，解得a=-5，a=3（不符合题意要舍去），即P₄（-5，0）．

点评 本题考查了一次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，自变量与函数值的对应关系；（2）利用了三角形的面积公式，分类讨论是解题关键，以防遗漏；（3）利用了等腰三角形的定义，分类讨论是解题关键，以防遗漏．