Question

求证：sin18°=

5 -1

4

．

Answer 1

分析：由于黄金三角形的顶角为36°，其底与一腰之长之比为黄金比，所以作出黄金三角形顶角的角平分线，即可证明sin18°=

5 -1

4

．

解答：证明：如图，△ABC是黄金三角形，则∠BAC=36°，AB=AC，BC：AB=

5 -1

2

．
作∠BAC的角平分线AD，则AD⊥BC，BD=DC=

1

2

BC．
在直角△ABD中，∠ADB=90°，
则sin18°=sin∠BAD=

BD

AB

=

1 2 BC

AB

=

1

2

×

5 -1

2

=

5 -1

4

．
即sin18°=

5 -1

4

．

点评：本题考查了黄金分割的定义及性质，等腰三角形的性质，锐角三角形的定义，难度中等，能够考虑到运用黄金三角形进行证明是解题的关键．