Question

已知，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（0，2），点P（m，n）是抛物线上的一个动点．
（1）①如图1，过动点P作PB⊥x轴，垂足为B，连接PA，求证：PA=PB；
②如图2，设C的坐标为（2，5），连接PC，AP+PC是否存在最小值？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（2）如图3，过动点P和原点O作直线交抛物线于另一点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）①设P（m，n）得出PB=

1

4

m²+1，再根据A（0，2）得出AP=

1

4

m²+1，即可证出PB=PA；
②过点P作PB⊥x轴于B，由PA=PB得出要使AP+CP最小，只需当C，P，B共线时即可，再根据点P的横坐标等于点C（2，5）的横坐标，即可得出答案；
（2）作DE⊥x轴于E，作PF⊥x轴于F，先得出PF=2DE，再根据

OE

OF

=

DE

PF

=

1

2

，得出设P（m，

1

4

m²+1），则D（

1

2

m，

1

8

m²+

1

2

），根据

1

8

m²+

1

2

=

1

4

（

1

2

m）²+1，求出m，从而得出点P的坐标，最后代入求解即可．

解答：解：（1）①设P（m，n）
∴n=

1

4

m²+1，
∵PB⊥x 轴，
∴PB=

1

4

m²+1，
∵A（0，2）
∴AP=

m2+( 1 4 m2-1)2

=

1

4

m²+1，
∴PB=PA；
                
②过点P作PB⊥x轴于B，由（1）得PA=PB，
所以要使AP+CP最小，只需当BP+CP最小，因此当C，P，B共线时取得，
此时点P的横坐标等于点C（2，5）的横坐标，
所以点P的坐标为（2，2），

（2）如图，作DE⊥x轴于E，作PF⊥x轴于F，
由（1）得：DA=DE，PA=PF
∵PA=2DA，
∴PF=2DE，
∵△ODE∽△OPF，
∴

OE

OF

=

DE

PF

=

1

2

，
设P（m，

1

4

m²+1），则D（

1

2

m，

1

8

m²+

1

2

）
∵点D在抛物线y=

1

4

x²+1上，
∴

1

8

m²+

1

2

=

1

4

（

1

2

m）²+1，
解得m=±2

2

，
∴P₁（2

2

，3），直线OP的解析式为y=

3 2

8

x，
P₂（-2

2

，3）直线OP的解析式为y=-

3 2

8

x，
综上所求，所求直线OP的解析式为y=

3 2

8

x或y=-

3 2

8

x．

点评：此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理，关键是根据题意做出辅助线，列出算式，注意分类讨论思想的运用．