Question

11．如图，点E是正方形ABCD内一点，DE=2，AE=1，EB=$\sqrt{2}$
（1）将△AED绕点A顺时针旋转90度，画出旋转后的图形；
（2）求∠AEB的度数；
（3）求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据旋转中心、旋转方向和旋转角度，画出△AED绕点A顺时针旋转90度后的图形；
（2）根据旋转的性质，可得△AEF是等腰直角三角形，根据勾股定理的逆定理，可得△BEF是等腰直角三角形，且∠BEF=90°，进而得到∠AEB=∠AEF+∠BEF=135°；
（3）根据△AEF和△BEF都是等腰直角三角形，可得∠AFB=90°，再根据Rt△ABF中，AB²=AF²+BF²=1+4=5，可得正方形ABCD的面积．

解答 解：（1）如图所示，△ABF即为所求；


（2）∵△ADE绕点A顺时针旋转90度后得到△ABF，
∴AE=AF=1，∠EAF=90°，DE=BF=2，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，EF=$\sqrt{2}$，
又∵EB=$\sqrt{2}$，
∴BE²+EF²=4=BF²，
∴△BEF是等腰直角三角形，且∠BEF=90°，
∴∠AEB=∠AEF+∠BEF=45°+90°=135°；

（3）由（2）可得，△AEF和△BEF都是等腰直角三角形，
∴∠AFE=∠BFE=45°，
∴∠AFB=90°，
∴Rt△ABF中，AB²=AF²+BF²=1+4=5，
∴正方形ABCD的面积=AB²=5．

点评 本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理的综合应用，解决问题的关键是掌握旋转的性质：旋转前、后的图形全等．