Question

7．如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，从而判断出①正确，然后根据等边对等角的性质可得∠APQ=∠PAQ，然后得到∠APQ=∠PAR，然后根据内错角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出②正确，然后证明出△APR与△APS全等，根据全等三角形对应边相等即可得到③正确，④由△BPR≌△CPS，△BRP≌△QSP，即可得到④正确．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，
∴P在∠A的平分线上，故①正确；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，
∴△BPR≌△CPS，
∴AS=AR，故②正确；
∵AQ=PQ，
∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，
∴PQ∥AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，
∴△PQS≌△PCS，
又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，
∵①②③④都正确，
故选D．

点评 本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．