Question

20．先填写如表，再回答后面提出的问题．

方程	方程的根x1、x2
x2-5x+6=0	x1=2，x2=3
6x2-5x+1=0	x1=$\frac{1}{2}$，x2=$\frac{1}{3}$
x2-7x+10=0	x1=2，x2=5
10x2-7x+1=0	x1=$\frac{1}{2}$，x2=$\frac{1}{5}$

（1）请你根据上表中方程根的规律填空：如果一元二次方程ax²-bx+c=0（a、c均不为0）的两个实数根为m、n，那么cx²-bx+a=0的两根是x₁=$\frac{1}{m}$，x₂=$\frac{1}{n}$；
（2）你能说明你猜想的依据吗？试试看；
（3）已知一元二次方程a²-3a+2=0和2b²-3b+1=0，且ab≠1，求$\frac{ab+a-1}{b}$的值．

Answer 1

分析 （1）分析表中方程的根与系数的关系：交换一个一元二次方程的二次项与常数项的系数所得的方程的解是原方程的解倒数．
（2）利用公式法解一元二次方程ax²-bx+c=0与cx²-bx+a=0的两根，然后分析它们的根的数量关系即可．
（3）根据（1）与（2）的结论求出一元二次方程a²-3a+2=0和2b²-3b+1=0的两个根，再根据ab≠1，分析a、b的取值即可求出代数式$\frac{ab+a-1}{b}$的值．

解答 解：（1）根据表中方程的根的规律：交换一个一元二次方程的二次项与常数项的系数所得的方程的解是原方程的解倒数，
故答案为：x₁=$\frac{1}{m}$，x₂=$\frac{1}{n}$．
（2）∵一元二次方程ax²-bx+c=0（a、c均不为0）的两个实数根为m、n，
∴m=$\frac{b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，n=$\frac{b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，
又∵一元二次方程cx²-bx+a=0中，
x₁=$\frac{b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2c}$，x₂=$\frac{b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2c}$，
∴m•x₂═$\frac{b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$•$\frac{b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2c}$=$\frac{{b}^{2}-（{b}^{2}-4ac）}{4ac}$=1
n•x₁=$\frac{b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$•$\frac{b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2c}$=1
∴x₁=$\frac{1}{n}$，x₂=$\frac{1}{m}$
即：如果一元二次方程ax²-bx+c=0（a、c均不为0）的两个实数根为m、n，那么cx²-bx+a=0的两根是 $\frac{1}{m}$，$\frac{1}{n}$；
（3）解一元二次方程a²-3a+2=0，得：a₁=2或 a=1，
则：由（1）知一元二次方程2b²-3b+1=0的解为 b=$\frac{1}{2}$或b=1
∵ab≠1，
∴ab=2或ab=$\frac{1}{2}$，即：a=2，b=1或a=1，b=$\frac{1}{2}$
∴当a=2，b=1时，$\frac{ab+a-1}{b}$=$\frac{2+2-1}{1}$=3
当或a=1，b=$\frac{1}{2}$时，$\frac{ab+a-1}{b}$=$\frac{\frac{1}{2}+1-1}{\frac{1}{2}}=1$
∴$\frac{ab+a-1}{b}$的值为3或1．

点评 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是认真分析表中方程的根与系数的关系结合一元二次方程的解法加以论证与应用．