Question

3．如图所示，P（a，3）是直线y=x+5上的一点，直线 y=k₁x+b与双曲线y=$\frac{k}{x}$相交于P、Q（1，m）．
（1）求双曲线的解析式及直线PQ的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式$\frac{k}{x}$＞k₁x+b的解集；
（3）若直线y=x+5与x轴交于A，直线y=k₁x+b与x轴交于M，求△APQ的面积．

Answer 1

分析 （1）由点P的纵坐标利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出点P的坐标，由点P的坐标利用待定系数法，即可求出双曲线的解析式，由点Q的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出点Q的坐标，再根据点P、Q的坐标利用待定系数法，即可求出直线PQ的解析式；
（2）根据两函数图象的上下位置关系，即可求出不等式$\frac{k}{x}$＞k₁x+b的解集；
（3）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A、M的坐标，根据三角形的面积结合S_△APQ=S_△AMP+S_△AMQ，即可求出△APQ的面积．

解答 解：（1）∵P（a，3）是直线y=x+5上的一点，
∴3=a+5，解得：a=-2，
∴点P（-2，3）．
将P（-2，3）代入y=$\frac{k}{x}$中，
3=$\frac{k}{-2}$，解得：k=-6，
∴双曲线解析式为y=-$\frac{6}{x}$．
∵Q（1，m）是双曲线y=-$\frac{6}{x}$上的一点，
∴m=-$\frac{6}{1}$=-6，
∴点Q（1，-6）．
将P（-2，3）、Q（1，-6）代入y=k₁x+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{-2{k}_{1}+b=3}\\{{k}_{1}+b=-6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-3}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线PQ的解析式为y=-3x-3．

（2）观察函数图象，可知：当-2＜x＜0或x＞1时，双曲线在直线PQ的上方，
∴不等式$\frac{k}{x}$＞k₁x+b的解集为-2＜x＜0或x＞1．

（3）当y=x+5=0时，x=-5，
∴点A（-5，0）；
当y=-3x-3=0时，x=-1，
∴点M（-1，0）．
∴AM=4，
∴S_△APQ=S_△AMP+S_△AMQ=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×4×6=18．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次（反比例）函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点A、M的坐标．