Question

某商人在我县开办了一家儿童服装专卖店，该店在儿童节前5月31日采购进一种今年流行的服装，6月份（6月1日至6月30日）进行30天的试销售，购进价格为20元/件．销售结束后，得知日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系为：
y=

-2x+80(1≤x≤20，且x为整数) -3x+100(20＜x≤30，且x为整数)

又知销售价格z（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系满足如图所示的函数图象．
（1）求：关于x的函数关系式；
（2）求出在这30天（6月1日至6月30日）的试销中，日销售利润w（元）与销售时间x（天）之间的函数关系式；
（3）该商人在7月份采取降低售价从而提高日销售量的销售策略，7月1日全天，销售价格比6月30日的销售价格降低a%，而日销售量比6月30日提高了6a%（其中a为小于20的正整数），日销售利润比6月份最大日销售利润少897元，求a的值．

Answer 1

考点：二次函数的应用,一元二次方程的应用

专题：

分析：（1）根据图象得出销售价格z与销售时间x（天）的关系为一次函数关系进而求出即可；
（2）根据当1≤x≤20时，以及当20＜x≤30时，表示出日销售利润，进而求出函数关系式即可；
（3）首先利用（2）中所求解析式，利用二次函数的最值求法以及一次函数的增减性，得出6月份日销售利润最大为1225元，再利用已知列出等式方程45（1-a%）•10（1+6a%）-20×10（1+6a%）=1225-897进而求出a的值即可．

解答：解：（1）由图象知，当1≤x≤20时，设z=kx+b，
则有：

6k+b=38 20k+b=45

，
解得：

k= 1 2 b=35

，
即z=

1

2

x+35，
当20＜x≤30时z=45，
综上：z=

1 2 x+35，(1≤x≤20) 45，(20＜x≤30)

；

（2）当1≤x≤20时，
W=yz-20y=（-2x+80）（

1

2

x+35）-20（-2x+80），
=-x²+10x+1200
当20＜x≤30时，
W=yz-20y=45（-3x+100）-20（-3x+100）
=-75x+2500，
即W=

-x2+10x+1200，(1≤x≤20) -75x+2500，(20＜x≤30)

；

（3）6月30日的价格为45元，日销售量为20个，
6月份当1≤x≤20时日销售利润为：
W=-x²+10x+1200=-（x²-10x+25）+1225=-（x-5）²+1225，
当6月5日时日利润最大为1225元．
当20＜x≤30时，利润为W=-75x+2000，
当x增加时W减小，故为x=21时最大．最大日销售利润为425元，
综上6月份日销售利润最大为1225元．
由题意得45（1-a%）•10（1+6a%）-20×10（1+6a%）=1225-897
整理得：
27a²-1050a+7800=0，
化简得9a²-350a+2600=0，
a₁=10，a₂=

260

9

（舍），
答：a的值为10．

点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的应用，根据已知得出利润与销量之间的函数关系式是解题关键．