Question

如图所示，平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，点M是四边形OADE的对角线的交点，点F在y轴负半轴上，且F（0，-2）。
（1）求抛物线的解析式，并直接写出四边形OADE的形状；
（2）当点P、Q从C、F两点同时出发，均以每秒1个长度单位的速度沿CB、FA方向运动，点P运动到O时P、Q两点同时停止运，设运动的时间为t秒，在运动过程中，以P、Q、O、M四点为顶点的四边形的面积为S，求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在抛物线上是否存在点N，使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点N的坐标；不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）∵抛物线经过A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0） ∴得到， 解得a=-，b=，c=4 ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4 （或y=-（x+2）（x-6）或y=-（x-2）2+） 四边形OADE为正方形；
（2）根据题意可知OE=OA=4，OC=6，OB=OF=2， ∴CE=2、 ∴CO=FA=6 ∵运动的时间为t ∴CP=FQ=t 过M作MN⊥OE于N，则MN=2 当0≤t＜2时，OP=6-t，OQ=2-t  ∴S=+=（6-t）×2+（6-t）（2- t）=（6-t）（4- t） ∴S=t2-5t+12， 当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，（不写也可） 当2＜t＜6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45° ∵FQ=CP=t，FO=CE=2 ∴OQ=EP ∴△QOM≌△PEM ∴四边形OPMQ的面积S==×4×2=4 综上所述，当0≤t＜2时，S=t2-5t+12； 当2＜t＜6时，S=4；
（3）存在N1（1，5），N2（5，），N3（2+，-2），N4（2-，-2）。