Question

4．如图，在?ABCD中，点E在边AD的延长线上，DE=AD，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）试用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示下列向量：$\overrightarrow{CD}$=-$\overrightarrow{a}$；$\overrightarrow{EC}$=-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$；
（2）求作：$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{EA}$．（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结果）．

Answer 1

分析 （1）根据图形可得：$\overrightarrow{CD}$=-$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BC}$，再由$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{ED}$+$\overrightarrow{DC}$即可得出答案．
（2）$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{CA}$，连接CA即可，延长AB、EC交于一点F，则可证明EF=2EC，从而可得出$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{EA}$．

解答 解：（1）由题意得，$\overrightarrow{CD}$=-$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BC}$，故可得：$\overrightarrow{CD}$=-$\overrightarrow{a}$，由$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{ED}$+$\overrightarrow{DC}$=-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$．
故答案是：-$\overrightarrow{a}$，=-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$．

（2）连接AC，则 $\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{CA}$；
延长AB、EC交于一点F，

由题意得，BC=AD=DE，
故可得BC=$\frac{1}{2}$AE，
又∵BC∥AE，
∴BC是△FAE的中位线，
∴EC=CF，
故 $\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{EA}$=$\overrightarrow{EF}$．

点评 此题考查了平面向量、平行四边形的性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是熟练掌握向量的加减运算，难度一般．