Question

如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=4

3

，BE=2．
（1）求FC的长；
（2）判断FC是否是⊙的切线，并说明理由．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）连接OC，由AF为圆O的切线，得到AF垂直于AB，再由AB垂直于CD，得到AF与CD平行，根据FC与AD平行，得到四边形ADCF为平行四边形，在直角三角形COE中，设OC=r，则OE=r-2，利用垂径定理求出CE的长，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，由OA+OE求出AE的长，在直角三角形AED中，利用勾股定理求出AD的长，即为FC的长；
（2）FC为圆O的切线，理由为：由AF=CD=4

3

，FC=AD=4

3

，得到AF=CF，再由OA=OC，OF=OF，利用SSS得到三角形AOF与三角形COF全等，利用全等三角形对应角相等得到∠OCF=∠OAF=90°，即可得证．

解答：解：（1）连接OC，
∵AF为圆O的切线，
∴AF⊥AB，
∵AB⊥CD，
∴AF∥CD，E为CD中点，即CE=DE=

1

2

CD=2

3

，
∵FC∥AD，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∴FC=AD，AF=CD
在Rt△OCE中，设OC=OB=r，则OE=OB-EB=r-2，
根据勾股定理得：OC²=CE²+OE²，即r²=（2

3

）²+（r-2）²，
解得：r=4，
∴AE=AO+OE=4+2=6，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+ED2

=

62+(2 3 )2

=4

3

，
则FC=AD=4

3

；
（2）FC为圆O的切线，理由为：
连接OF，
∵AF=CD=4

3

，FC=AD=4

3

，
∴AF=CF，
在△AOF和△COF中，

AF=CF OF=OF OA=OC

，
∴△AOF≌△COF（SSS），
∵∠FAO=90°，
∴∠ACO=∠FAO=90°，
则FC为圆O的切线．

点评：此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．