Question

10．在直角坐标系xoy中，直线AB交x轴于A（2，0），交y轴负半轴于B（0，-10），C为x轴正半轴上一点，且OC=5OA．
（1）求△ABC的面积；
（2）延长BA到P，使得PA=AB，过点P作PM⊥OC于M（补全图形），求点P的坐标；
（3）如图，D是第三象限内一动点，直线BE⊥CD于E，OF⊥OD交BE的延长线于点F，当D点运动时，OD与OF的大小之间有何规律？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）易求OC的长，即可求得AC的长，即可解题；
（2）作出图形，易证△PAM≌△BAO，可得PM=OB，AM=OA，即可解题；
（3）易证∠OCD=∠OBF和∠COD=∠BOF，即可证明△CDO≌△BFO，可得DO=FO，即可解题．

解答 解：（1）∵OC=5AO，AO=2，
∴OC=10，
∴AC=OC-OA=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$×8×10=40；
（2）作出图形，

在△PAM和△BAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMA=∠BOA=90°}\\{∠PAM=∠BAO}\\{PA=PB}\end{array}\right.$，
∴△PAM≌△BAO（AAS），
∴PM=OB=10，AM=OA=2，
∴点P坐标为（4，10）；
（3）OD=OF，如图，

∵∠OCD+∠OGE=90°，∠OFE+∠OBF=90°，
∴∠OCD=∠OBF，
∵∠FOG+∠DOG=90°，∠DOG+∠BOD=90°，
∴∠BOD=∠FOG，
∵∠BOC=∠BOG=90°，
∴∠BOD+90°=∠FOG+90°，即∠COD=∠BOF，
在△CDO和△BFO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠COD=∠BOF}\\{CO=BO}\\{∠OCD=∠OBF}\end{array}\right.$，
∴△CDO≌△BFO（ASA），
∴DO=FO，
∴当D点运动时，OD=OF．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△PAM≌△BAO和△CDO≌△BFO是解题的关键．