Question

如图，BC为⊙O的直径，以BC为直角边作Rt△ABC，∠ACB=90°，斜边AB与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥BC于点F，交⊙O于点G．
（1）求证：AE=CE；
（2）若AD=4，AE=

5

，求DG的长．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）首先连接CD，由BC为⊙O的直径，∠ACB=90°，可得AC是⊙O的切线．又由⊙O的切线DE交AC于点E，根据切线长定理，可得ED=EC，然后由等角的余角相等，证得∠A=∠2，即可得：AE=CE；
（2）首先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC长，然后由勾股定理，求得CD的长，再利用三角函数，求得DG的长．

解答：（1）证明：连接CD，
∵BC为⊙O的直径，∠ACB=90°，
∴AC是⊙O的切线．
又∵DE与⊙O相切，
∴ED=EC，
∴∠1=∠3．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°．
∵∠1+∠2=∠3+∠A=90°，
∴∠A=∠2，
∴ED=EA，
∴AE=CE；

（2）解：∵AE=

5

，
∴AC=2AE=2

5

．
在Rt△ACD中，CD=

AC2-AD2

=2，
∴sinA=

2

2 5

=

5

5

，
∵∠3+∠4=∠3+∠A=90°，
∴∠A=∠4．
∴sin∠4=sinA=

5

5

，
∴DF=

2 5

5

，
∵DG⊥BC于点F，
∴DG=2DF=

4 5

5

．

点评：此题考查了切线的性质、切线长定理、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．