Question

设S=

1+ 1 12 + 1 22

+

1+ 1 22 + 1 32

+…+

1+ 1 20052 + 1 20062

+

1+ 1 20062 + 1 20072

，则与S最接近的整数是（　　）

• A、2005
• B、2006
• C、2007
• D、2008

Answer 1

考点：二次根式的化简求值

专题：规律型

分析：通过上式找出规律，得出通项公式

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

再进行化简，得结果为1+

1

n(n+1)

，将自然数n代入求出结果，再判断与s最接近的整数．

解答：解：∵n为任意的正整数，
∴

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=

n2(n+1)2+n2+(n+1)2 [n(n+1)]2

=

[n(n+1)]2+2n(n+1)+1 [n(n+1)]2

=

(n2+n+1)2 [n(n+1)]2

=

n2+n+1

n(n+1)

=1+

1

n(n+1)

，
∴s=（1+

1

1×2

+(1+

1

2×3

)+(1+

1

3×4

)…（1+

1

2006×2007

）
=2006+

1

1×2

+(1+

1

2×3

)+(1+

1

3×4

)…

1

2008×2009

=2006+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2006

-

1

2007

）=2007-

1

2007

．
因此与s最接近的整数是2007．
故选C．

点评：本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分数

1

n(n+1)

化成

1

n

-

1

n+1

，寻找抵消规律求和．