题目内容
已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），求证：AE+CF=EF．
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
（3）当∠MBN绕B点旋转到图3这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），求证：AE+CF=EF．
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
（3）当∠MBN绕B点旋转到图3这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
考点：全等三角形的判定与性质,旋转的性质
专题：
分析：（1）根据AE=CF可以求得BF=BE，易求得∠CBF=30°，可得BF=2CF，即可解题；
（2）将RT△ABE顺时针旋转120°，可得FG=CG+CF=AE+CF，易证∠GBF=∠EBF=60°，即可求证△GBF≌△EBF，可得FG=EF，即可解题；
（3）将RT△ABE顺时针旋转120°，可得FG=CG-CF=AE-CF，易证∠GBF=∠EBF=60°，即可求证△GBF≌△EBF，可得FG=EF，即可解题．
（2）将RT△ABE顺时针旋转120°，可得FG=CG+CF=AE+CF，易证∠GBF=∠EBF=60°，即可求证△GBF≌△EBF，可得FG=EF，即可解题；
（3）将RT△ABE顺时针旋转120°，可得FG=CG-CF=AE-CF，易证∠GBF=∠EBF=60°，即可求证△GBF≌△EBF，可得FG=EF，即可解题．
解答：证明：（1）∵RT△ABE和RT△CBF中，AB=BC，CF=AE，
∴tan∠CBF=tan∠ABE，BF=BE，
∴∠CBF=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠CBF=30°，△BEF是等边三角形，
∴BF=2CF，BF=EF，
∴EF=2CF=AE+CF；
（2）如图2，将RT△ABE顺时针旋转120°，
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A点与C点重合，
∴BG=BE，FG=CG+CF=AE+CF，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠ABE=∠CBG，
∴∠GBF=60°，
在△GBF和△EBF中，
，
∴△GBF≌△EBF（SAS），
∴FG=EF，
∴EF=AE+CF；
（3）不成立，新结论为EF=AE-CF．
理由：如图3，将RT△ABE顺时针旋转120°，
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A点与C点重合，∠ABE=∠CBG，
∴BG=BE，FG=CG-CF=AE-CF，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠CBG+∠CBE=∠GBE=120°，
∵∠MBN=60°，
∴∠GBF=60°，
在△BFG和△BFE中，
，
∴△BFG≌△BFE，（SAS）
∴GF=EF，
∴EF=AE-CF．
∴tan∠CBF=tan∠ABE，BF=BE，
∴∠CBF=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠CBF=30°，△BEF是等边三角形，
∴BF=2CF，BF=EF，
∴EF=2CF=AE+CF；
（2）如图2，将RT△ABE顺时针旋转120°，
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A点与C点重合，
∴BG=BE，FG=CG+CF=AE+CF，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠ABE=∠CBG，
∴∠GBF=60°，
在△GBF和△EBF中，
|
∴△GBF≌△EBF（SAS），
∴FG=EF，
∴EF=AE+CF；
（3）不成立，新结论为EF=AE-CF．
理由：如图3，将RT△ABE顺时针旋转120°，
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴A点与C点重合，∠ABE=∠CBG，
∴BG=BE，FG=CG-CF=AE-CF，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠CBG+∠CBE=∠GBE=120°，
∵∠MBN=60°，
∴∠GBF=60°，
在△BFG和△BFE中，
|
∴△BFG≌△BFE，（SAS）
∴GF=EF，
∴EF=AE-CF．
点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求证△BFG≌△BFE是解题的关键．
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