Question

14．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2$\sqrt{3}$，0）（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=30°，则点P的坐标为（1，$\sqrt{3}$）或（2，2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 连接BP、AP，过P作x轴的垂线，设垂足为Q；由圆周角定理知AB是⊙O的直径，而∠AOP=30°，根据勾股定理得到直径AB的长，即可求出AP的值；在Rt△APQ中，由勾股定理即可求得OQ、PQ的长，即可得出P点的坐标．

解答 解：（1）如图1中，连接AP、BP，过P作PQ⊥x轴于Q；

∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙O的直径，则∠APB=90°；
Rt△AOB中，OB=2，OA=2$\sqrt{3}$，由勾股定理，得AB=4，
∵∠ABP=∠AOP=30°，
∴PA=$\frac{1}{2}$AB=2，
Rt△POQ中，∠POQ=30°，
设PQ=x，则OQ=$\sqrt{3}$x，AQ=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x；
Rt△APQ中，由勾股定理得：
AP²=AQ²+PQ²，即（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x）²+x²=4，
解得x=1，或x=2，
∴OQ=$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$，
即P点坐标为（1，$\sqrt{3}$）或（2，2$\sqrt{3}$），
故答案为：（1，$\sqrt{3}$）或（2，2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合应用能力；能够构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考压轴题．