Question

15．已知等腰三角形ABC的底边长BC=20cm，D是AC上的一点，且BD=16cm，CD=12cm．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）首先根据BD、CD、BC长可利用勾股定理逆定理证明BD⊥AC；
（2）设AD=xcm，则AC=（x+12 ）cm，在Rt△ABD中，利用勾股定理列出方程求解即可得到AB，进一步得到AC，再利用AC和AC边上的高列式计算即可得解．

解答 （1）证明：∵12²+16²=20²，
∴CD²+BD²=BC²，
∴△BDC是直角三角形，
∴BD⊥AC；
（2）解：设AD=xcm，则AC=（x+12 ）cm，
∵AB=AC，
∴AB═（x+12 ）cm，
在Rt△ABD中：AB²=AD²+BD²，
∴（x+12）²=16²+x²，
解得x=$\frac{14}{3}$，
∴AC=$\frac{14}{3}$+12=$\frac{50}{3}$cm，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$BD•AC=$\frac{1}{2}$×16×$\frac{50}{3}$=$\frac{400}{3}$cm²．

点评 本题考查了勾股定理逆定理，勾股定理的应用，熟记两个定理并判断出△BCD是直角三角形，然后求出AB的长是解题的关键．