Question

如图，在长方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的一个三等分点，FB与EC，ED分别交于点G，H，FC与ED交于点I．则

S四边形GHIC

S四边形ABCD

=

 

．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：首先连接EF，BD，由在长方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的一个三等分点，可设S_{四边形ABCD}=a，继而求得△FDC，△AEF以及△EBC的面积，则可求得△EFC的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案．

解答：解：连接EF，BD，
设S_{四边形ABCD}=a，
∵在长方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的一个三等分点，
∴S_△FDC=

1

2

DF•CD=

1

2

×

1

3

AD×CD=

1

6

a，S_△AEF=

1

2

AE•AF=

1

2

×

1

2

AB×

2

3

AD=

1

6

a，S_△EBC=

1

2

EB•BC=

1

2

×

1

2

AB×BC=

1

4

a，
∴S_△FEC=a-

1

6

a-

1

6

a-

1

4

a=

5

12

a，
∴

FG

GB

=

S△EFG+S△FCG

S△EBG+S△BGC

=

S△FEC

S△EBC

=

5

3

．
∴S_△FGC=

FG

FB

S_△FBC=

5

8

×

1

2

a=

5

16

a．
又∵

FH

HB

=

S△DEF

S△BDE

=

1

3

，
∴FH：HG：GB=2：3：3，

FI

IC

=

S△DEF

S△CDE

=

1

6

，
∴S四边形GHIC=(1-

FH

FG

•

FI

FC

)S△FGC=

33

112

．
故答案为：

33

112

．

点评：此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．