Question

12．如图将一副三角尺如图摆放在一起，连结AD，试求∠BAD的正切值．

Answer 1

分析 延长AB，过点D作DE⊥AB的延长线于E，求出△BED是等腰直角三角形，设DE=x，根据等腰直角三角形的性质求出BE、BD，再求出BC，然后根据等腰直角三角形的性质求出AB，最后根据正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．

解答 解：如图，延长AB，过点D作DE⊥AB的延长线于E，
∵∠DBC=90°，∠ABC=45°，
∴∠DBE=180°-90°-45°=45°，
∴△BED是等腰直角三角形，
设DE=x，则BE=x，BD=$\sqrt{2}$x，
在Rt△BCD中，BC=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$x=$\sqrt{6}$x，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{6}$x=$\sqrt{3}$x，
∴AE=AB+BE=$\sqrt{3}$x+x，
所以，∠BAD的正切值=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{x}{\sqrt{3}x+x}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，作辅助线构造出以∠BAD为锐角的直角三角形是解题的关键．