Question

已知：等边△ABC的边长为3

3

，⊙O的半径为r．

（1）如图（1），若⊙O从与AC相切于点A的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，最后回到开始的位置．
①求圆心O经过的路径长（用含r的代数式表示）；
②当r=

3

2π

时，⊙O自转了几圈？
（2）如图（2），若将⊙O的圆心O与点A重合，然后将圆心O沿线路AC→CB→BA运动，最后回到点A，⊙O随点O的运动而移动．
①在移动过程中，⊙O与等边△ABC的边会有相切的位置关系，从切点的个数来考虑，相切有几种不同情况？写出不同情况下，r的取值范围及相应的切点个数．
②在移动过程中，在△ABC内部，⊙O未经过的部分的面积为S，在S＞0时，求S关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题,等边三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,切线的性质,弧长的计算,特殊角的三角函数值

专题：综合题

分析：（1）①通过画图（图1）可知；圆心O经过的路径长等于△ABC的周长与三个半径为r且圆心角为120度的弧长的和，通过计算就可求出圆心O经过的路径长；②只需将圆心O经过的路径长除以圆的周长即可得到⊙O自转圈数．
（2）①只需先考查临界位置（圆心到达一个顶点时与一边相切）时所对应的r的值，如图2，就可解决问题；②如图3，在S＞0时，⊙O未经过的部分的面积就是△DEF的面积，可以证出△DEF是等边三角形，只需用r的代数式表示出△DEF的一条边，就可解决问题．

解答：解：（1）①圆心O运动的路径如图1所示，

则圆心O经过的路径长为

(360-90-90-60)πr

180

×3+3

3

×3
=2πr+9

3

．
②当r=

3

2π

时，圆心O经过的路径长为2π×

3

2π

+9

3

=10

3

．
∵⊙O的周长为2πr=

3

，
∴⊙O自转的圈数为

10 3

3

=10（圈）

（2）①当点O运动到点C且与AB相切于点H时，如图2所示，

则有r=CH．
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°．
∵AC=3

3

，∴CH=AC•sinA=3

3

×

3

2

=

9

2

．
∴r=

9

2

．
∴当0＜r＜

9

2

时，圆心O在每一条边运动时都有2个切点，共6个切点；
当r=

9

2

时，圆心O在每一条边运动时都有1个切点，共3个切点；
当r＞

9

2

时，圆心O在每一条边运动时都没有切点，共0个切点．
②当S＞0时，过点N作NQ⊥BC，如图3所示，

则有S=S_△DEF，NQ=r；
NF∥BC，DF∥AC，DE∥AB；
BN=BP=AM．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠A=60°．
∵NQ⊥BC，
∴NQ=BN•sin∠B．
∴r=BN×

3

2

．
∴BN=

2 3 r

3

．
∴BP=AM=BN=

2 3 r

3

．
∵AB=3

3

，
∴MN=3

3

-

2 3 r

3

-

2 3 r

3

=3

3

-

4 3 r

3

．
∵NF∥BC，DE∥AB，
∴四边形BPEN是平行四边形，∠MNF=∠B=60°，∠NMF=∠A=60°．
∴NE=BP，△MNF是等边三角形．
∴NF=MN．
∴EF=NF-NE=MN-BP=3

3

-

4 3 r

3

-

2 3 r

3

=3

3

-2

3

r．
∵△MNF是等边三角形，DE∥AB，
∴∠DEF=∠MNF=60°，∠DFE=60°．
∴△DEF是等边三角形．
∴DE=EF．
∴S=S_△DEF=

1

2

EF•DE•sin∠DEF
=

1

2

×（3

3

-2

3

r）×（3

3

-2

3

r）×

3

2

=

3 3

4

（2r-3）²．
其中EF＞0，即3

3

-2

3

r＞0，
解得；r＜

3

2

．
∵r＞0，∴0＜r＜

3

2

．
∴S关于r的函数解析式为S=

3 3

4

（2r-3）²，其中0＜r＜

3

2

．

点评：本题考查了圆的切线的性质、圆弧长公式、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识，还考查了临界值法及分类讨论的思想，有一定的难度．