Question

20．如图，正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA的中点．BE与CF相交于点P．
（1）求证：BE⊥CF；
（2）判断PA与AB的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先依据SAS证明△BCE≌△CDF，由全等三角形的性质可证明∠CBE=∠DCF，然后依据等量代换可证明∠CBE+∠BCP=90°；
（2）延长CF、BA交于点M，再证△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，可得Rt△MBP中AP=$\frac{1}{2}$BM，即AP=AB．

解答 证明：（1）∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，

∴EC=DF．
在△BCE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCE=∠CDF}\\{CE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CDF．
∴∠CBE=∠DCF．
∵∠DCF+∠BCP=90°，
∴∠CBE+∠BCP=90°，
∴BE⊥FC．
（2）延长CF、BA交于点M．

∵FC⊥EB，
∴∠BPM=90°．
∵在△CDF和△AMF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠MFA}\\{∠CDF=∠MAF}\\{FD=FA}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△AMF，
∴CD=AM．
∵CD=AB，
∴AB=AM．
∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，
∴AP=$\frac{1}{2}$MB．
∴AP=AB．

点评 本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质，本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键