Question

18．直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，∠BAO=60°，AC平分∠BAO交y轴于点C，若AC=8．

（1）求点B的坐标．
（2）动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着射线AC运动，过P作PH⊥y轴，垂足为H．设运动时间为t秒，用含t的关系式表示线段CH的长，并写出t的取值范围．
（3）在（2）的条件下，当OH=2CH时，求出t的值．此时在第一象限内是否存在一点M，使△CHM是等腰直角三角形．如果存在，请直接写出M的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义、直角三角形的性质得到∠OAC=∠BAC=∠ABO=30°，根据直角三角形的性质求出OC，根据等腰三角形的性质求出BC，计算即可；
（2）证明△CPH∽△CAO，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）根据题意求出CH，分∠MCH=90°，CH=CM、∠CHM=90°，CH=HM、∠CMH=90°，CM=HM三种情况，根据等腰直角三角形的性质计算即可．

解答 解：（1）∵∠BAO=60°，AC平分∠BAO，
∴∠OAC=∠BAC=∠ABO=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=4，BC=AC=8，
∴OB=OC+BC=12，
∴点B的坐标为（0，12）；
（2）∵PH⊥y轴，
∴PH∥OA，
∴△CPH∽△CAO，
∴$\frac{CH}{CO}$=$\frac{CP}{CA}$，即$\frac{CH}{4}$=$\frac{8-2t}{8}$，
解得，CH=4-2t（0≤t≤4）；
（3）∵OH=2CH，
∴CH=$\frac{4}{3}$，
当∠MCH=90°，CH=CM=$\frac{4}{3}$时，点M的坐标为（$\frac{4}{3}$，4），
当∠CHM=90°，CH=HM=$\frac{4}{3}$时，点M的坐标为（$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$），
当∠CMH=90°，CM=HM时，点M在CH的垂直平分线上，
点M的坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{10}{3}$）．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．