Question

18．已知二次函数y=-x²+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求此二次函数的表达式，并用配方法求顶点的坐标；
（2）直接写出当函数值y＞0时，自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将（-1，0）和（0，3）两点代入二次函数y=-x²+bx+c，求得b和c；从而得出抛物线的解析式，利用配方法求出顶点坐标；
（2）令y=0，解得x₁，x₂，得出此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标，进而求出当函数值y＞0时，自变量x的取值范围．

解答 解：（1）由二次函数y=-x²+bx+c的图象经过（-1，0）和（0，3）两点，
得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解这个方程组，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
由于y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
则抛物线的顶点坐标为（1，4）．

（2）令y=0，得-x²+2x+3=0．
解这个方程，得x₁=3，x₂=-1．
∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）．
当-1＜x＜3时，y＞0．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点问题以及用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确求出抛物线的解析式，此题难度不大．