Question

5．已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON同时分别以30°/s，10°/s的速度绕点O逆时针旋转，设旋转时间为t秒．
（1）如图①，若∠AOB=120°，当OM、ON逆时针旋转到OM′、ON′处，
①若OM，ON旋转时间t为2时，则∠BON′+∠COM′=40°；
②若OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，求∠M′ON′的值；
（2）如图②，若∠AOB=4∠BOC，OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部旋转时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由．
（3）若∠AOC=80°，0M，0N在旋转的过程中，当∠MON=20°，t=3秒．

Answer 1

分析 （1）①先求出∠AOM′、CON′，再表示出∠BON′、∠COM′，然后相加并根据∠AOB=120°计算即可得解；
②先由角平分线求出∠AOM′=∠COM′=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON′=∠CON′=$\frac{1}{2}$∠BOC，再求出∠COM′+∠CON′=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×120°=60°，即∠M′ON′=60°；
（2）设旋转时间为t，表示出∠CON、∠AOM，然后列方程求解得到∠BON、∠COM的关系，再整理即可得解；
（3）设旋转时间为t，表示出∠CON、∠AOM，然后得到∠COM，再列方程求解得到∠MON的关系，整理即可得解．

解答 解：（1）∵线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转2s，
∴∠AOM′=2×30°=60°，∠CON′=2×10°=20°，
∴∠BON′=∠BOC-20°，∠COM′=∠AOC-60°，
∴∠BON′+∠COM′=∠BOC-20°+∠AOC-60°=∠AOB-80°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BON′+∠COM′=120°-80°=40°；
故答案为：40°；
②∵OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，
∴∠AOM′=∠COM′=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON′=∠CON′=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠COM′+∠CON′=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
即∠MON=60°；
（2）∠COM=3∠BON，理由如下：
设∠BOC=X，则∠AOB=4X，∠AOC=3X，
∵旋转t秒后，∠AOM=3t，∠CON=t
∴∠COM=3X-3t=3（X-t），∠NOB=X-t
∴∠COM=3∠BON；
（3）设旋转t秒后，∠AOM=30t，∠CON=10t，
∴∠COM=80°-30t，∠NOC=10t，
可得∠MON=∠MOC+∠CON，
可得：80°-30t+10t=20°，
解得：t=3秒，
故答案为：3秒．

点评 此题考查了角的计算，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解题的关键．