题目内容

小芳参加图书馆标志设计大赛，他在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，并与正方形的对角线交于F、G点，制成了图中阴影部分的标志，则这个标志AFEGD的面积是________．

$\text{[math]}$
分析：首先过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，由在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，即可求得△BEC与正方形ABCD的面积，由直角三角形的性质，即可求得GN的长，即可求得△CDG的面积，同理即可求得△ABF的面积，又由S_阴影=S_{正方形ABCD}-S_△ABF-S_△BCE-S_△CDG，即可求得阴影图形的面积．
解答：

解：过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，
∵在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，
∴AB=BC=CD=AD=BE=EC=2，∠ECB=60°，∠ODC=45°，
∴S_△BEC= $\text{[math]}$ ×2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，S_正方形=AB²=4，
设GN=x，
∵∠NDG=∠NGD=45°，∠NCG=30°，
∴DN=NG=x，CN= $\text{[math]}$ NG= $\text{[math]}$ x，
∴x+ $\text{[math]}$ x=2，
解得：x= $\text{[math]}$ -1，
∴S_△CGD= $\text{[math]}$ CD•GN= $\text{[math]}$ ×2×（ $\text{[math]}$ -1）= $\text{[math]}$ -1，
同理：S_△ABF= $\text{[math]}$ -1，
∴S_阴影=S_{正方形ABCD}-S_△ABF-S_△BCE-S_△CDG=4-（ $\text{[math]}$ -1）- $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ -1）=6-3 $\text{[math]}$ ．
故答案为：6-3 $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了正方形，等边三角形，以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．