Question

5．已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d₁、d₂、d₃，且d₁=d₃=1，d₂=2．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．

（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE⊥l于点E，BE的反向延长线交直线k于点F，求正方形ABCD的边长．
（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，则矩形ABCD的宽为$\frac{\sqrt{13}}{2}$或$\frac{\sqrt{37}}{2}$．（直接写出结果即可）
（3）如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形，AE⊥k于点E，∠AFD=90°，直线DF分别交直线l、k于点G、点M．求证：EC=DF．
（4）如图3，l∥k，等边三角形ABC的顶点A、B分别落在直线l，k上，AB⊥k，于点B，且AB=4，∠ACD=90°，直线CD分别交直线l，k于点G，M，点D、点E分别是线段GM、BM上的动点，且始终保持AD=AE，DH⊥l于点H．
猜想：DH在什么范围内，BC∥DE？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用AAS证明△ABE≌△BCF，即可求得AE和BE的长，然后利用勾股定理即可求解；
（2）过B作BE⊥l于点E，交k于点F，易证△AEB∽△BCF，然后分AB是长和AB是宽两种情况进行讨论求得；
（3）连接AC，首先证明△ADC是等边三角形，再证明△AFD≌△AEC（HL），根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（4）连接AM，首先证明△ABE≌△ACD，然后证明Rt△ABM≌Rt△ACM（HL），根据全等三角形的对应角相等，以及等腰直角三角形 的性质证明∠MBC=∠MED，则ED∥BC即可证得．

解答 解：（1）如图1，
∵BE⊥l，l∥k，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
又四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠2=90°，AB=BC，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{∠AEB=∠BFC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF=1，
∵BE=d₁+d₂=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴正方形的边长是$\sqrt{10}$；

（2）如图2，过B作BE⊥l于点E，反向延长BE交k于点F．
则BE=1，BF=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
又∵直角△ABE中，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠FBC=∠EAB，
∴△AEB∽△BFC，
当AB是较短的边时，如图（a），
AB=$\frac{1}{2}$BC，则AE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3}{2}$，
在直角△ABE中，AB=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$；
当AB是长边时，如图（b），
同理可得：BC=$\frac{\sqrt{37}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{13}}{2}$或$\frac{\sqrt{37}}{2}$．

（3）如图3，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，
又∠ADC=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD=AC，
∵AE⊥k，∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AF=AE，
在Rt△AFD和Rt△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AE}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△AEC（HL），
∴EC=DF．

（4）如图4，
当2＜DH＜4时，BC∥DE．
理由如下：连接AM，
∵AB⊥k，∠ACD=90°，
∴∠ABE=∠ACD=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∴在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（HL），
∴BE=CD；
∴在Rt△ABM和Rt△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABM≌Rt△ACM（HL），
∴BM=CM；
∴∠MBC=∠MCB
∴MB=MC，
∴∠MED=∠MDE，
∵在等腰三角形MDE和等腰三角形MCB中，∠DME=∠CMB，
∴∠MBC=∠MED，
∴ED∥BC．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．