Question

14．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上任一点，AE⊥CD交CD的延长线于E，BF⊥CD于F．求证：AE=CF．

Answer 1

分析 根据∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，根据HL证明Rt△ACE≌Rt△CBF，根据全等三角形的性质与等量关系即可得出结论．

解答 证明：∵AE⊥CD，BF⊥CD
∴∠AEC=∠BFC=90°
∵∠ACE+∠EAC=90°，∠BFC+∠EAC=90°，
∴∠ACE=∠BFC，
在Rt△ACE与Rt△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BFC}\\{∠AEC=∠BFC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF（AAS），
∴AE=CF

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质，难度适中．