Question

2．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE+90°，AB=AC，AD=AE．点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下两个结论：
①BD=CE；
②BD⊥CE；
③BE²=2AD²+BD²；
④∠ACE+∠DBC=45°．
其中结论正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论BD=CE；由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠ABD=∠ACE就可以得出结论∠ACE+∠DBC=45°；由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°，进而得出结论BD⊥CE；△BDE为直角三角形就可以得出BE²=BD²+DE²，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE²=2AD²，BC²=2AB²，得出结论BE²=2AD²+BD²．

解答 解：如图：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∴①正确；
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°．
∴∠ACE+∠DBC=45°，∴④正确；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD+∠AFB=90°，
∴∠ACE+∠AFB=90°．
∵∠DFC=∠AFB，
∴∠ACE+∠DFC=90°，
∴∠FDC=90°．
∴BD⊥CE，∴②正确；
∵BD⊥CE，
∴BE²=BD²+DE²，
∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴DE²=2AD²，BC²=2AB²，
∴BE²=2AD²+BD²，∴③正确．
故选D．

点评 本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键．