Question

9．如图，在矩形ABCD中，P是AD上一动点，O为BD的中点，连接PO并延长，交BC于点Q．
（1）求证：四边形PBQD是平行四边形
（2）若AD=6cm，AB=4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动（不与点D重合），设点P运动时间为t s，请用含t的代数式表示PD的长，并求出当t为何值时，四边形PBQD是菱形．并求出此时菱形的周长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形性质推出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠PDO=∠QBO，根据全等三角形的判定ASA证△PDO≌△BQO，根据全等三角形的性质推出OP=OQ，则“对角线相互平分的四边形为平行四边形”；
（2）①由线段间的和差关系来求PD的长度；
②根据平行四边形的判定得出四边形PBQD是平行四边形，求出DP=BP即可．

解答 解：（1）∵证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
∵O为BD中点，
∴OB=OD，
在△PDO和△QBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDO=∠QBO}\\{OB=OD}\\{∠POD=∠BOQ}\end{array}\right.$，
∴△PDO≌△QBO（ASA），
∴OP=OQ．
又∵OB=OD，
∴四边形PBQD是平行四边形；

（2）依题意得，AP=tcm，则PD=（6-t） cm．
当四边形PBQD是菱形时，有PB=PD=（6-t） cm．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
在Rt△ABP中，AP²+AB²=BP²，AB=4
∴t²+4²=（6-t）²
解得$t=\frac{5}{3}$，
所以运动的时间为$\frac{5}{3}s$时，四边形PBQD是菱形．
∴此时菱形的周长为$（{6-\frac{5}{3}}）×4=\frac{52}{3}$（cm）．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，题目比较好，综合性比较强．