Question

15．请阅读以下材料，并完成相应的任务．
如图（1），A，B两点在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，直线AB与坐标轴分别交于点C，D，求证：AD=BC．
下面是小明同学的部分证明过程：
证明：如图（2），过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．
设直线AB的表达式为y=mx+n，A，B两点的横坐标分别为a，b，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{a}=ma+n}\\{\frac{k}{b}=mb+n}\end{array}\right.$，解得m=-$\frac{k}{ab}$，n=$\frac{k（a+b）}{ab}$
∴直线AB的表达式y=-$\frac{k}{ab}$x+$\frac{k（a+b）}{ab}$
当x=0时，y=$\frac{k（a+b）}{ab}$，∴点D的坐标为（0，$\frac{k（a+b）}{ab}$）
∴DM=$\frac{k（a+b）}{ab}$-$\frac{k}{a}$=$\frac{k}{b}$…
（1）请补全小明的证明过程；
（2）如图（3），直线AB与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于点A（$\frac{1}{2}$，9）和点C，与x轴交于点D，连接OC．若点B的坐标为（0，10），则点C的坐标为（$\frac{9}{2}$，1），△OCD的面积为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 （1）证明：如图（2），过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．得到直线AB的表达式y=-$\frac{k}{ab}$x+$\frac{k（a+b）}{ab}$当x=0时，y=$\frac{k（a+b）}{ab}$，得到点D的坐标为（0，$\frac{k（a+b）}{ab}$）于是得到DM=$\frac{k（a+b）}{ab}$-$\frac{k}{a}$=$\frac{k}{b}$，当y=0时，x=a+b，求得点C的坐标为（a+b，0）于是得到CN=a+b-b=a，据勾股定理即可得到结论；
（2）把点A（$\frac{1}{2}$，9）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$得k=$\frac{9}{2}$，求得反比例函数的解析式为y=$\frac{9}{2x}$，把A（$\frac{1}{2}$，9），点B的坐标为（0，10）代入y=mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{9=\frac{1}{2}m+n}\\{n=10}\end{array}\right.$，求得直线AB的解析式为：y=-2x+10，解方程组得到C（$\frac{9}{2}$，1），根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 （1）证明：如图（2），过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．
设直线AB的表达式为y=mx+n，A，B两点的横坐标分别为a，b，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{a}=ma+n}\\{\frac{k}{b}=mb+n}\end{array}\right.$，解得m=-$\frac{k}{ab}$，n=$\frac{k（a+b）}{ab}$
∴直线AB的表达式y=-$\frac{k}{ab}$x+$\frac{k（a+b）}{ab}$
当x=0时，y=$\frac{k（a+b）}{ab}$，∴点D的坐标为（0，$\frac{k（a+b）}{ab}$）
∴DM=$\frac{k（a+b）}{ab}$-$\frac{k}{a}$=$\frac{k}{b}$，
当y=0时，x=a+b，∴点C的坐标为（a+b，0）
∴CN=a+b-b=a，
∴AD=$\sqrt{D{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{k}{b}）^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{k}^{2}+{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+{a}^{2}{b}^{2}}}{b}$，
CB=$\sqrt{C{N}^{2}+B{N}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{k}{b}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{{k}^{2}+{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+{a}^{2}{b}^{2}}}{b}$，
∴AD=BC；

（2）解：把点A（$\frac{1}{2}$，9）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$得k=$\frac{9}{2}$，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{9}{2x}$，
把A（$\frac{1}{2}$，9），点B的坐标为（0，10）代入y=mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{9=\frac{1}{2}m+n}\\{n=10}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=10}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-2x+10，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+10}\\{y=\frac{9}{2x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=9}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{9}{2}$，1），
在y=-2x+10中，令y=0，则x=5，
∴直线AB于x轴的交点D（5，0），
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}×$×1=$\frac{5}{2}$，
故答案为：（$\frac{9}{2}$，1），$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了一次函数的图象于反比例函数的图象的交点问题，求函数的解析式，勾股定理，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．