题目内容

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线 $数学公式$ 经过B点．
（1）请写出抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，线段CD下方的抛物线上有一个动点M．过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．

解：（1）∵抛物线 $\text{[math]}$ 经过B点，B点的坐标是（0，4），
∴4=0-0+c，即c=4，
∴该抛物线的解析式为： $\text{[math]}$ ；

（2）∵A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），
∴OA=3，OB=4，
在Rt△ABO中，根据勾股定理知，AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =5．
假设点C、D都在抛物线 $\text{[math]}$ ．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）；
当x=5时，y= $\text{[math]}$ ×5²- $\text{[math]}$ ×5+4=4，
当x=2时，y= $\text{[math]}$ ×2²- $\text{[math]}$ ×2+4=0，
∴点C和点D在所求抛物线上；

（3）设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
则 $\text{[math]}$ ，
解得， $\text{[math]}$ ，
故直线CD的解析式为y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ．
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t；
则y_M= $\text{[math]}$ ×t²- $\text{[math]}$ t+4，y_N= $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ ．
∴l=y_N-y_M= $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ ×t²- $\text{[math]}$ t+4）=- $\text{[math]}$ （t- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ．
∵- $\text{[math]}$ ＜0，
∴当t= $\text{[math]}$ 时，l_最大= $\text{[math]}$ ，此时y_M= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ +4= $\text{[math]}$ ．
此时点M的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）已知抛物线上B点的坐标以及抛物线方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．
（3）根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线BC与抛物线的函数值的差，可将x=t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为l的表达式，由此可求出l、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出l取最大值时，点M的坐标．
点评：此题考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，图象的平移变换，二次函数的应用等知识．在设一次函数解析式y=kx+b时，不要漏掉k≠0这一条件．