Question

在数学活动中，我们发现了一些有趣的现象，可以用图形来解决一些数的问题
现象一：如图所示，5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．
（1）请求出图中阴影部分正方形的面积和边长，并用直尺和圆规把边长在数轴上表示出来．
现象二：为求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…

1

2n

的值，设计了如图（1）所示的几何图形．

（2）请你利用这个几何图形求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…

1

2n

的值为

 

．（结果保留n）
请你利用图（2）再设计一个能求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…

1

2n

的值的几何图形．

Answer 1

考点：规律型：图形的变化类

专题：

分析：（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算即可得解；再利用算术平方根的定义求出边长；利用勾股定理作出边长表示的无理数即可．
（2）设正方形的面积为1，每次划分都是将原图形化成两个面积相等的图象，当化到第n个时，所剩的最小图形的面积是

1

2n

，所以

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…

1

2n

表示的面积等于1-

1

2n

．在划分图形时每次划分都是上一级图形面积的一半．

解答：解：（1）阴影部分面积=5×5-4×

1

2

×1×4，
=25-8，
=17，
阴影部分正方形的边长=

17

；
如图所示．
  

（2）

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…

1

2n

=1-

1

2n

，
如图1-1或如图1-2或如图1-3等．     

点评：本题考查了图形的变化类问题，解答关键是利用图形的面积表示所求表达式的值，在图形划分时每一次划分都是上一级图形面积的一半．