Question

12．如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，H是BD、CE的交点，试猜想∠A和∠EHD之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 由于∠DHE是△BEH的外角，故∠DHE=∠HBE+∠BEH=∠HBE+90°=∠HBE+∠ADB，即∠A+∠EHD=∠HBE+∠ADB+∠A=180°．

解答 解：∠A+∠EHD=180°．
∵BD，CE是△ABC的高（已知），
∴∠BEH=∠ADB=90°（高的意义），
∵∠DHE是△BEH的外角（三角形外角的概念），
∴∠DHE=∠HBE+∠BEH（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和），
=∠HBE+90°
=∠HBE+∠ADB，
∴∠A+∠DHE=∠A+∠HBE+∠ADB=90°+90°=180°．

点评 本题考查了三角形内角和定理，此类题目比较简单，解答此类题目要注意：①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件；②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．