Question

3．（1）填空2¹-2⁰=2^（　　），2²-2¹=2^（　　），2³-2²=2^（　　）…
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
（3）运用上述规律计算：2⁰-2¹-2²-…-2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 （1）根据幂的运算方法，可得2¹-2⁰=2-1=1=2⁰，2²-2¹=4-2=2=2¹，2³-2²=8-4=4=2²，据此解答即可．
（2）根据（1）中式子的规律，可得2ⁿ-2^n-1=2^n-1；然后根据幂的运算方法，证明第n个等式成立即可．
（3）根据2ⁿ-2^n-1=2^n-1，求出算式2⁰-2¹-2²-…-2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵的值是多少即可．

解答 解：（1）2¹-2⁰=2-1=1=2⁰，2²-2¹=4-2=2=2¹，2³-2²=8-4=4=2²．

（2）∵2¹-2⁰=2⁰，2²-2¹=2¹，2³-2²=2²，
∴2ⁿ-2^n-1=2^n-1；
证明：∵2ⁿ-2^n-1=2×2^n-1-2^n-1=2^n-1×（2-1）=2^n-1，
∴2ⁿ-2^n-1=2^n-1成立．

（3）2⁰-2¹-2²-…-2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵
=2²⁰¹⁵-2²⁰¹⁴-2²⁰¹³-…-2¹+2⁰
=2²⁰¹⁴-2²⁰¹³-…-2¹+2⁰
=2²⁰¹³-2²⁰¹²-…-2¹+2⁰
=…
=2²-2¹+2⁰
=2¹+2⁰
=2+1
=3
故答案为：0、1、2．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：2ⁿ-2^n-1=2^n-1成立．