Question

2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠BCD=45°，将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，延长AD交EC于点F．
（1）求证：四边形ABCF是矩形；
（2）若AD=2，BC=3，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行线求出∠B=∠BAF=90°，∠BCD=∠FDC=45°，根据旋转得出DE=DC，∠EDC=90°，根据等腰三角形性质求出∠AFC=90°，根据矩形的判定得出即可；
（2）求出AF和DF，求出DF=EF=1，根据勾股定理求出即可．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∠BCD=45°，
∴∠B=∠BAF=90°，∠BCD=∠FDC=45°，
∵将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，
∴DE=DC，∠EDC=90°，
∴∠EDF=45°=∠FDC，
∴DF⊥CE，
∴∠AFC=90°，
即∠B=∠BAF=∠AFC=90°，
∴四边形ABCF是矩形；

（2）解：∵四边形ABCF是矩形，
∴AF=BC=3，
∴DF=3-2=1，
∵∠EDF=45°，∠DFE=90°，
∴∠DEF=∠EDF=45°，
∴DF=EF=1，
在Rt△AFE中，由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{F}^{2}+F{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了平行线的性质，矩形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．