Question

5．如图，已知点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8．
（1）求证：△EOB∽△ABC；
（2）求反比例函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）直接利用直角三角形的性质结合相似三角形的判定方法得出答案；
（2）利用相似三角形的性质求法k的值即可．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，点D为斜边AC的中点，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB=∠EBO，
又∠EOB=∠ABC=90°，
∴△EOB∽△ABC；

（2）∵△EOB∽△ABC
∴$\frac{BC}{OB}$=$\frac{AB}{OE}$，
∵△BCE的面积为8，
∴$\frac{1}{2}$BC•OE=8，
∵$\frac{BC}{OB}$=$\frac{AB}{OE}$，
∴BC•OE=16，
∴AB•OB•=BC•OE，
∴k=AB•BO=BC•OE=16，
则反比例函数的解析式为：y=$\frac{16}{x}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△EOB∽△ABC是解题关键．