Question

14．如图，⊙O的直径AB=12cm，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点．
（Ⅰ）若∠ADC=122°，求∠BCD的度数；
（Ⅱ）设AD=x，BC=y，求y关于x的函数解析式．

Answer 1

分析 （I）由于AD与BC都是⊙O的切线，易证AD∥BC，所以∠ADC+∠BCD=180°，从而可求出∠BCD的度数；
（II）过点D作DF⊥BC于点F，可知AB=CD=12，由切线长定理以及勾股定理即可求出x与y之间的关系式；

解答 解：（I）∵AD与BC都是⊙O的切线，
∴∠OAD=∠OBC=90°，
∴∠OAD+∠OBC=180°，
∴AD∥BC，
∴∠BCD+∠ADC=180°，
∴∠BCD=58°；
（II）过点D作DF⊥BC于点F，可知AB=CD=12，
∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE与⊙O相切于点E，
∴AD=DE=x，BC=CE=y，
∴CD=DE+CE=x+y，
∴CF=BC-BF=y-x，
在Rt△DFC中，
∴由勾股定理可知：DF²+FC²=CD²，
12²+（y-x）²=（x+y）²
∴化简可得：y=$\frac{36}{x}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，勾股定理等知识，属于中等题型．