Question

8．若实数a，b，满足a+b=1时，就称点P（a，b）为“平衡点”
（1）判断点A（2，-3），B（3，-2）是不是“平衡点”
（2）已知抛物线y=$\frac{1}{4}x{\;}^2+（{p-t-1}$）x+q+t-3（t＞3）上有且只有一个的“平衡点”，且当-2≤p≤3时，q的最小值为t，求t的值．

Answer 1

分析 （1）只需将横纵坐标相加后是否等于即可判断；
（2）由题意可设该平衡点为（a，1-a），代入抛物线中，由于有且只有一个平衡点，所以△=0，再利用题目的条件即可求出t的值．

解答 解：（1）由题意可知：A不是平衡点，B是平衡点；
（2）设抛物线的平衡点为（a，1-a），
把（a，1-a）代入y=$\frac{1}{4}$x²+（p-t-1）a+q+t-3；
∴化简后可得：$\frac{1}{4}$a2+（p-t）a+q+t-4=0，
由于有且只有一个平衡点，
∴关于a的一元二次方程中，△=0，
∴化简后为q=（p-t）²+4-t，
∴q是p的二次函数，对称轴为x=t＞3，
∵-2≤p≤3，
∴q随p的增大而减小，
∴当p=3时，q可取得最小值，
∴（3-t）²+4-t=t，
∴解得：t=4±$\sqrt{3}$，
∵t＞3，
∴t=4+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及新定义问题，一元二次方程，二次函数最值问题等知识，综合程度高．