Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A₁（2，2）在直线y=x上，过点A₁作A₁B₁∥y轴，交直线y=$\frac{1}{2}$x于点B₁，以A₁为直角顶点，A₁B₁为直角边，在A₁B₁的右侧作等腰直角三角形A₁B₁C₁；再过点C₁作A₂B₂∥y轴，分别交直线y=x和y=$\frac{1}{2}$x于A₂，B₂两点，以A₂为直角顶点，A₂B₂为直角边，在A₂B₂的右侧作等腰直角三角形A₂B₂C₂…，按此规律进行下去，点C₁的横坐标为3，点C₂的横坐标为$\frac{9}{2}$，点C_n的横坐标为2×（$\frac{3}{2}$）ⁿ．（用含n的式子表示，n为正整数）

Answer 1

分析 先根据点A₁的坐标以及A₁B₁∥y轴，得到A₁B₁的长以及点C₁的横坐标，再根据A₂的坐标以及A₂B₂∥y轴，得到A₂B₂的长以及点C₂的横坐标为，最后根据根据变换规律，求得A_nB_n的长，进而得出点C_n的横坐标．

解答 解：∵点A₁（2，2），A₁B₁∥y轴交直线y=$\frac{1}{2}$x于点B₁，
∴B₁（2，1）
∴A₁B₁=2-1=1，即A₁C₁=1，
∵A₁C₁=A₁B₁=1，
∴点C₁的横坐标为3=2×（$\frac{3}{2}$），
∴A₂（3，3），
又∵A₂B₂∥y轴，交直线y=$\frac{1}{2}$x于点B₂，
∴B₂（3，$\frac{3}{2}$），
∴A₂B₂=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，∴A₂C₂=$\frac{3}{2}$
∴点C₂的横坐标为$\frac{9}{2}$=2×（$\frac{3}{2}$）²；
以此类推，
A₃B₃=$\frac{9}{4}$，即A₃C₃=$\frac{9}{4}$，
∴点C₃的横坐标为$\frac{27}{4}$=2×（$\frac{3}{2}$）³，
A₄B₄=$\frac{27}{8}$，即A₄C₄=$\frac{27}{8}$；
点C₄的横坐标为$\frac{81}{8}$=2×（$\frac{3}{2}$）⁴…
∴A_nB_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1，即A_nC_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1．
∴点C_n的横坐标为2×（$\frac{3}{2}$）ⁿ，
故答案为：3，$\frac{9}{2}$，2×（$\frac{3}{2}$）ⁿ．

点评 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出变换规律．